Conception de filtres passifs : filtres RC passe-bas et passe-haut du premier ordre

Un signal PWM 5 V issu d'une broche Arduino, destiné à piloter l'entrée de vitesse d'un moteur CC, produit un broutement audible sur le moteur. La solution : une résistance de 10 kΩ et un condensateur de 2,2 µF placés entre la broche PWM et le driver du moteur. Fréquence de coupure à 7,2 Hz, bien en dessous de la porteuse PWM à 490 Hz, et l'ondulation crête à crête chute de 5 V à environ 120 mV. Deux composants, une seule formule.

Les filtres RC passifs constituent la brique de conditionnement de signal la plus simple en électronique. Une résistance, un condensateur, une référence de masse, et vous obtenez une réponse passe-bas ou passe-haut du premier ordre dont la fréquence de coupure est fixée par une seule équation. La plupart des ingénieurs l'apprennent une fois, oublient la démonstration et ne retiennent que la formule. Ce guide reprend les calculs, le diagramme de Bode et trois exemples concrets (contrôle de tonalité audio, lissage PWM, filtrage anti-repliement avant ADC) que vous pouvez vérifier avec le calculateur de filtre RC de Calcflux.

La formule de la fréquence de coupure

La fréquence de coupure (aussi appelée cutoff, point −3 dB ou point demi-puissance) d'un filtre RC du premier ordre vaut :

f_c = 1 / (2π · R · C)

Avec R en ohms, C en farads, f_c sort en hertz. La même formule régit à la fois la topologie passe-bas (R en série, C à la masse, sortie aux bornes de C) et la topologie passe-haut (C en série, R à la masse, sortie aux bornes de R). L'inversion change le côté de f_c que le signal laisse passer, mais ne modifie pas la fréquence de coupure elle-même.

La constante de temps τ associée indique la vitesse à laquelle le condensateur se charge ou se décharge à travers la résistance :

τ = R · C

Au bout d'une constante de temps, un condensateur en charge atteint 63,2 % de la tension finale. Après cinq constantes de temps, il se trouve à 99,3 % et est considéré comme totalement établi. C'est le pendant temporel de la fréquence de coupure fréquentielle. Les deux grandeurs décrivent le même filtre sous deux angles différents.

Pourquoi −3 dB à la coupure

À f = f_c, le module de la fonction de transfert vaut exactement 1/√2 ≈ 0,707. Élevez-le au carré : vous obtenez 1/2, autrement dit la moitié de la puissance d'entrée atteint la sortie. D'où l'appellation « point demi-puissance ». En convertissant le rapport d'amplitude en décibels, 20·log₁₀(1/√2) donne −3,0103 dB, que les fiches techniques arrondissent à −3 dB.

Ce n'est pas une règle empirique. Cela découle directement de l'algèbre de la fonction de transfert d'un système RC du premier ordre, et ce résultat apparaît à l'identique dans tous les manuels depuis les travaux de George Campbell et Otto Zobel chez AT&T Bell Labs entre 1915 et 1925.

Lire le diagramme de Bode

Un diagramme de Bode représente le module (en dB) en fonction de la fréquence (sur une échelle logarithmique). Pour un filtre RC passe-bas du premier ordre :

• En dessous de f_c la réponse est plate à 0 dB. Le signal passe sans modification.
• À f_c la réponse est en baisse de 3 dB.
• Au-dessus de f_c la pente est de −20 dB par décade. Chaque multiplication de la fréquence par dix divise l'amplitude par dix (perte de 20 dB).

Pour un filtre passe-haut du premier ordre, retournez la courbe. La pente vaut +20 dB par décade en dessous de f_c et redevient plate à 0 dB au-dessus. La coupure reste située à f_c.

Le déphasage suit le module mais avec un retard. Un filtre passe-bas passe de 0° en continu à −45° à f_c, puis tend vers −90° bien au-dessus. La transition est progressive. Une décade avant f_c, le déphasage atteint déjà environ −5,7°. Une décade après, il atteint −84,3°. Un filtre passe-haut produit la courbe symétrique : +90° en continu, +45° à f_c, 0° bien au-dessus. Le déphasage devient critique lorsque vous mettez des filtres en cascade dans des boucles de régulation, des filtres de haut-parleur ou des systèmes à verrouillage de phase.

Exemple 1 : contrôle de tonalité audio à 1 kHz

Vous voulez un contrôle simple de coupure des aigus. Le signal provient d'une source de niveau ligne (faible impédance), attaque un passe-bas RC et alimente un amplificateur à forte impédance d'entrée. L'objectif est f_c = 1 kHz : atténuer le souffle et le bruit haute fréquence sans toucher au médium.

Choisissez d'abord le condensateur. Pour une application audio, les valeurs comprises entre 10 nF et 1 µF couvrent la majorité des cas, et les valeurs de condensateurs suivent des séries E plus grossières que les résistances. Prenez C = 100 nF (0,1 µF), une valeur standard en céramique ou en film plastique.

Calculez R :

R = 1 / (2π · C · f_c)
R = 1 / (2π · 100e-9 · 1000)
R = 1 / 6.283e-4
R = 1592 Ω

Prenez 1,6 kΩ dans la série E24. Vérification : f_c = 1 / (2π · 1600 · 100e-9) = 995 Hz. Suffisamment proche pour de l'audio.

À 500 Hz (une demi-décade sous f_c), l'atténuation vaut 20·log₁₀(1/√(1 + 0,5²)) = −0,97 dB, autrement dit le signal est pratiquement inchangé. À 10 kHz (une décade au-dessus), l'atténuation atteint 20·log₁₀(1/√(1 + 10²)) = −20,04 dB. La division de l'amplitude par dix par décade correspond exactement à la prédiction du diagramme de Bode. Vérifiez avec le calculateur de filtre RC.

Exemple 2 : conversion PWM vers analogique

Un signal PWM à 490 Hz issu d'une broche Arduino avec un rapport cyclique de 50 % doit produire une moyenne de 2,5 V. Le signal brut reste un créneau de 0 V à 5 V ; c'est la moyenne qui vous intéresse. Un passe-bas dont τ est nettement supérieur à la période PWM extrait la composante continue et rejette la porteuse.

Pour un rapport cyclique de 50 % et RC très grand devant la période PWM, l'ondulation crête à crête rapportée à la pleine amplitude PWM vaut :

V_ripple_pp / V_swing ≈ T_PWM / (4 · RC) = 1 / (4 · R · C · f_PWM)

La démonstration découle des charges et décharges exponentielles pendant chaque demi-période (voir les notes « Linear Physical Systems Analysis » de Swarthmore). L'approximation reste valable dès que RC dépasse d'environ 10× la période PWM.

Pour un PWM Arduino à 490 Hz avec un objectif d'ondulation de 2 % (100 mV sur 5 V), il faut RC > 1 / (4 · 0,02 · 490) = 25,5 ms. Autrement dit f_c < 6,2 Hz.

Prenez R = 10 kΩ, C = 2,2 µF. RC = 22 ms, f_c = 7,23 Hz. L'ondulation ressort à environ 2,3 % (116 mV crête à crête). La constante de temps de 22 ms implique que les changements d'échelon mettent environ 110 ms à s'établir (cinq constantes de temps) ; n'utilisez donc pas ce filtre sur un signal qui doit suivre des variations rapides de rapport cyclique. Pour une réponse plus rapide, augmentez f_c et acceptez davantage d'ondulation ; pour moins d'ondulation, passez à un filtre du second ordre ou montez en fréquence PWM.

Une PWM haute fréquence facilite nettement les choses. Le périphérique LEDC de l'ESP32 se configure généralement à 5 kHz (il peut monter dans le MHz au prix d'une résolution réduite). À 5 kHz de PWM, RC = 2,5 ms suffit pour 2 % d'ondulation : R = 25 kΩ, C = 100 nF, f_c = 63,7 Hz, temps d'établissement d'environ 12 ms. Une réponse à l'échelon un ordre de grandeur plus rapide que dans le cas 490 Hz, à ondulation identique.

Exemple 3 : filtrage anti-repliement avant un ADC

Un ADC qui échantillonne à 48 kHz doit voir sa bande d'entrée limitée en dessous de la fréquence de Nyquist, soit 24 kHz. Tout contenu spectral au-delà de 24 kHz se replie dans la bande audio sous forme de distorsion d'aliasing. Un filtre RC à un pôle à f_c = 20 kHz sert souvent de première ligne de défense en amont d'un filtre anti-repliement d'ordre plus élevé intégré au codec.

Pour f_c = 20 kHz avec C = 1 nF (une valeur faible qui se comporte bien de l'audio aux fréquences ultrasoniques) :

R = 1 / (2π · 1e-9 · 20e3) = 7958 Ω

Prenez 8,2 kΩ (E24). f_c réelle : 19,4 kHz.

À 40 kHz (soit environ une octave dans la bande d'arrêt), l'atténuation vaut 20·log₁₀(1/√(1 + (40/19,4)²)) = −7,2 dB. Ce n'est pas une réjection suffisante à elle seule. Un unique pôle RC ne donne que −6 dB par octave ; un signal à la fréquence de Nyquist de 24 kHz ne voit donc qu'environ −4 dB d'atténuation (20·log₁₀(1/√(1 + (24/19,4)²)) = −4,03 dB) avant de se replier dans la bande audio. C'est pour cette raison que les véritables filtres anti-repliement audio utilisent des topologies actives du 4e ordre ou plus. Le pôle RC joue un rôle de préfiltre, destiné à empêcher la RF et les signaux hors bande lointains de saturer l'étage actif. Voir la section « Quand le premier ordre ne suffit pas » plus bas.

Filtres passe-haut : couplage alternatif

L'application la plus courante d'un passe-haut est le blocage du continu. Les signaux audio se superposent à des tensions de polarisation continue à l'intérieur des amplificateurs, et l'offset continu d'un circuit peut saturer l'étage suivant s'il est connecté directement. Un condensateur en série avec la résistance d'entrée de l'étage suivant forme un filtre passe-haut qui bloque le continu tout en laissant passer l'alternatif audio.

Entrée typique d'un ampli guitare : impédance d'entrée de 1 MΩ sur l'étage suivant, objectif f_c largement sous la note de basse la plus grave. Fixez f_c = 8 Hz afin que le Mi grave de la guitare à 82 Hz ne soit pas touché et qu'un grondement à 20 Hz passe proprement. Calculez C :

C = 1 / (2π · R · f_c) = 1 / (2π · 1e6 · 8) = 19.9 nF

Prenez 22 nF (E6). f_c réelle : 7,23 Hz. À 20 Hz, le signal n'est atténué que de 0,5 dB, le fondamental de basse à 82 Hz perd 0,04 dB, et le continu est totalement bloqué.

Choisissez la valeur du condensateur en fonction de la fréquence la plus basse que vous voulez laisser passer proprement. Pour du caisson de grave, descendez f_c à 5 Hz. Pour des applications voix seule, 200 Hz convient et atténue les bruits de manipulation du micro.

Choisir des composants réels

Trois règles pour que la valeur calculée corresponde à la valeur mesurée :

La tolérance du condensateur domine. Les condensateurs céramiques X7R affichent une tolérance de ±10 % à 25 °C et dérivent jusqu'à ±15 % supplémentaires sur toute la plage de fonctionnement −55 à +125 °C. Un condensateur de 100 nF prévu pour f_c = 1 kHz peut réellement valoir 85 nF ou 115 nF, décalant f_c à 923 Hz ou 1176 Hz. Les condensateurs film (polypropylène, polyester) tiennent ±5 % et restent dans ±2 % sur la plage de température, ce qui explique leur statut de référence en audio. Les céramiques C0G/NP0 offrent une excellente précision (±5 % ou mieux, dérive de ±30 ppm/°C), mais seulement pour de faibles valeurs, typiquement sous 10 nF.

Gardez l'impédance de source faible devant R. Si la source qui attaque le filtre présente une impédance de sortie R_s, la résistance effective dans la formule de coupure devient R_s + R. Pour un filtre à 10 kΩ attaqué par une source de 1 kΩ, f_c se décale vers le bas d'environ 10 %. Intercalez un buffer à amplificateur opérationnel si R_s dépasse quelques pour cent de R.

Gardez l'impédance de charge élevée devant R. Le filtre charge l'étage précédent, et l'étage suivant charge le filtre. Si la résistance de charge R_L est placée aux bornes du condensateur de sortie (cas passe-bas), la résistance effective devient R en parallèle avec R_L, ce qui décale f_c vers le haut. Pour obtenir une réponse du premier ordre propre, prenez R_L au moins 10× supérieure à R.

Les trois règles se manifestent sous forme d'erreurs « cachées » lorsque le circuit sur plan ne correspond pas à la maquette. Le calculateur de filtre RC gère le calcul idéal ; les trois règles font en sorte que ce calcul reste pertinent pour ce que vous construisez vraiment.

Quand le premier ordre ne suffit pas

Un pôle RC unique fournit −20 dB par décade, ce qui paraît rapide jusqu'au jour où vous tentez de l'utiliser pour de l'anti-repliement ou du filtrage RF. À 2·f_c, la réponse n'est atténuée que de 7 dB. À 5·f_c, de 14 dB. La plupart des chaînes de signal réclament davantage.

Trois façons d'obtenir une pente plus raide :

Mettre plusieurs étages RC en cascade avec des buffers. Deux étages RC donnent −40 dB/décade, trois donnent −60 dB/décade. Il faut un ampli tampon (en général un ampli op en gain unitaire) entre les étages ; une cascade directe modifie l'impédance effective de chaque étage et ruine la coupure nominale. Approche simple mais gourmande en composants.

Filtres actifs Sallen-Key. Un unique ampli op avec deux résistances et deux condensateurs donne une vraie réponse du second ordre : −40 dB/décade avec un facteur de qualité Q défini, sans buffer. Le passe-bas Sallen-Key est la topologie de prédilection pour les filtres anti-repliement audio, de 20 kHz à quelques MHz.

Filtres passifs LC. Aux fréquences radio, les inductances remplacent les étages actifs. Un passe-bas LC en Pi ou en T fournit une réponse du second ordre sans ampli op et fonctionne sans problème jusqu'aux GHz. Le compromis : les inductances sont encombrantes, coûteuses et se couplent aux champs magnétiques parasites. Le RC reste presque toujours préférable en dessous de quelques centaines de kHz ; le LC prend le relais au-dessus.

Pour la plupart des tâches courantes (lissage PWM, blocage du continu, correction de tonalité simple, préfiltrage anti-repliement), un RC du premier ordre est la bonne réponse. Passez à des structures d'ordre supérieur dès que vous avez besoin de plus de 20 dB de réjection une décade après la coupure.

Erreurs fréquentes

Ignorer l'impédance de source. Un contrôle de tonalité à base de potentiomètre présentant 10 kΩ d'impédance de source, attaquant une résistance de filtre de 10 kΩ, ne produit pas le f_c que vous avez calculé avec R = 10 kΩ seul. R effective = 20 kΩ, donc f_c vaut la moitié de ce que vous attendiez.

Sauter les buffers entre étages en cascade. Deux filtres passe-bas à 1 kHz connectés directement ne forment pas un filtre du second ordre à 1 kHz. Le second étage charge le premier, ce qui décale les deux coupures. Buffer toujours.

Utiliser des condensateurs polarisés dans des applications de couplage alternatif. Un électrochimique de 10 µF placé en série avec un signal audio ne fonctionne que s'il voit une polarisation continue supérieure à l'amplitude alternative. Dans un chemin de signal bidirectionnel (sans offset continu), utilisez un condensateur non polarisé ou deux électrochimiques tête-bêche. Mieux : un condensateur film ou un tantale bipolaire.

Concevoir autour de valeurs idéales de composants. Les condensateurs réels présentent une résistance série équivalente (ESR), les résistances réelles une capacité parasite, et les deux ont une tolérance finie. Pour des applications de précision, vérifiez le circuit construit face à sa cible de conception avec un générateur de signaux et un oscilloscope avant de supposer que les calculs sont respectés.

Passez vos calculs de filtre RC par le calculateur de filtre RC de Calcflux et recoupez-les avec le calculateur de code couleur des résistances lors de la lecture des composants physiques. Pour des problèmes d'impédance plus complexes, le calculateur de la loi d'Ohm gère les relations résistives en régime permanent qui sous-tendent toute conception de filtre.