Diseño de filtros pasivos: filtros RC de paso bajo y paso alto de primer orden

Una señal PWM de 5 V desde un pin de Arduino, pensada para controlar la entrada de velocidad de un motor DC, produce un traqueteo audible en el motor. La solución: una resistencia de 10 kΩ y un condensador de 2,2 µF entre el pin PWM y el driver del motor. Frecuencia de corte de 7,2 Hz, muy por debajo de la portadora PWM de 490 Hz, y el rizado pico a pico cae de 5 V a unos 120 mV. Dos componentes, una fórmula.

Los filtros RC pasivos son el bloque de acondicionamiento de señal más sencillo de la electrónica. Una resistencia, un condensador, una referencia a tierra, y obtienes una respuesta de paso bajo o paso alto de primer orden cuya frecuencia de esquina la fija una única ecuación. La mayoría de los ingenieros la aprende una vez, olvida la derivación y solo recuerda la fórmula. Esta guía recorre las matemáticas, el diagrama de Bode y tres ejemplos prácticos (control de tono de audio, suavizado de PWM y anti-aliasing para ADC) que puedes verificar con la calculadora de filtros RC de Calcflux.

La fórmula de la frecuencia de corte

La frecuencia de esquina (también llamada frecuencia de corte, punto de −3 dB o punto de media potencia) de un filtro RC de primer orden es:

f_c = 1 / (2π · R · C)

Donde R va en ohmios, C en faradios y f_c sale en hercios. La misma fórmula gobierna tanto la topología de paso bajo (R en serie, C a tierra, salida sobre C) como la topología de paso alto (C en serie, R a tierra, salida sobre R). El intercambio cambia qué lado de f_c deja pasar la señal, no cambia la esquina en sí.

La constante de tiempo relacionada τ indica con qué rapidez el condensador se carga o descarga a través de la resistencia:

τ = R · C

Después de una constante de tiempo, un condensador que se está cargando alcanza el 63,2% del voltaje final. Tras cinco constantes de tiempo queda al 99,3% y se considera totalmente estabilizado. Es el equivalente en el dominio del tiempo de la frecuencia de corte en el dominio de la frecuencia. Describen el mismo filtro desde dos lentes distintas.

Por qué −3 dB en la esquina

En f = f_c, la magnitud de la función de transferencia es exactamente 1/√2 ≈ 0,707. Al elevarla al cuadrado obtienes 1/2, lo que significa que la mitad de la potencia de entrada llega a la salida. De ahí el término "punto de media potencia". Al convertir la relación de amplitud a decibelios con 20·log₁₀(1/√2) resulta −3,0103 dB, y por eso las hojas de datos redondean a −3 dB.

No es una regla empírica. Se deduce directamente del álgebra de la función de transferencia de un sistema RC de primer orden, y aparece igual en todos los libros de texto desde los trabajos de George Campbell y Otto Zobel en los AT&T Bell Labs entre 1915 y 1925.

Cómo leer el diagrama de Bode

Un diagrama de Bode muestra la magnitud (en dB) frente a la frecuencia (en escala logarítmica). Para un filtro RC paso bajo de primer orden:

• Por debajo de f_c la respuesta es plana en 0 dB. La señal pasa sin cambios.
• En f_c la respuesta cae 3 dB.
• Por encima de f_c la pendiente es de −20 dB por década. Cada incremento de diez veces en frecuencia produce una caída de diez veces en amplitud (una pérdida de 20 dB).

Para un filtro paso alto de primer orden, invierte el diagrama. La pendiente es de +20 dB por década por debajo de f_c y plana en 0 dB por encima. La esquina sigue estando en f_c.

El desplazamiento de fase sigue a la magnitud pero con retraso. Un filtro paso bajo pasa de 0° en continua, a −45° en f_c, hasta −90° muy por encima. La transición es gradual. Una década por debajo de f_c el desplazamiento ya es de unos −5,7°. Una década por encima alcanza −84,3°. Un filtro paso alto refleja la curva: +90° en continua, +45° en f_c, 0° muy por encima. La fase importa cuando encadenas filtros en lazos de control, cruces de altavoces o sistemas sincronizados en fase (PLL).

Ejemplo práctico 1: control de tono de audio en 1 kHz

Quieres un control sencillo de atenuación de agudos. La señal viene de una fuente de nivel de línea (baja impedancia), alimenta un RC paso bajo y entra a un amplificador de alta impedancia de entrada. El objetivo es f_c = 1 kHz: atenuar el siseo y el ruido de alta frecuencia sin tocar los medios.

Elige primero el condensador. Para trabajo de audio, los valores entre 10 nF y 1 µF cubren la mayoría de los casos, y los valores de condensador van en series E más gruesas que las resistencias. Escoge C = 100 nF (0,1 µF), un valor estándar cerámico o de película.

Despeja R:

R = 1 / (2π · C · f_c)
R = 1 / (2π · 100e-9 · 1000)
R = 1 / 6.283e-4
R = 1592 Ω

Elige 1,6 kΩ de la serie E24. Verifica: f_c = 1 / (2π · 1600 · 100e-9) = 995 Hz. Suficientemente cerca para audio.

En 500 Hz (media década por debajo de f_c) la atenuación es 20·log₁₀(1/√(1 + 0,5²)) = −0,97 dB, prácticamente sin cambios. En 10 kHz (una década por encima) la atenuación es 20·log₁₀(1/√(1 + 10²)) = −20,04 dB. La caída de diez veces en amplitud por década es exactamente lo que predice el diagrama de Bode. Comprueba los resultados con la calculadora de filtros RC.

Ejemplo práctico 2: PWM a analógico

Una señal PWM de 490 Hz desde un pin de Arduino con un ciclo de trabajo del 50% debería promediar a 2,5 V. La forma de onda cruda sigue siendo una onda cuadrada de 0 V a 5 V; lo que quieres es el promedio. Un filtro paso bajo con τ mucho mayor que el periodo del PWM extrae la componente continua y rechaza la portadora.

Para un ciclo de trabajo del 50% y RC mucho mayor que el periodo del PWM, el rizado pico a pico en relación con la excursión total del PWM es:

V_ripple_pp / V_swing ≈ T_PWM / (4 · RC) = 1 / (4 · R · C · f_PWM)

La derivación sale de la carga y descarga exponencial durante cada medio periodo (ver los apuntes de Linear Physical Systems Analysis de Swarthmore). La aproximación es válida cuando RC supera el periodo del PWM por un factor de aproximadamente 10.

Para un PWM de Arduino a 490 Hz con un objetivo de rizado del 2% (100 mV sobre 5 V), necesitas RC > 1 / (4 · 0,02 · 490) = 25,5 ms. Equivalentemente, f_c < 6,2 Hz.

Elige R = 10 kΩ, C = 2,2 µF. RC = 22 ms, f_c = 7,23 Hz. El rizado sale aproximadamente del 2,3% (116 mV pico a pico). La constante de tiempo de 22 ms implica que los cambios escalón tardan unos 110 ms en estabilizarse (cinco constantes de tiempo), así que no uses este filtro con una señal que necesite seguir cambios rápidos de ciclo de trabajo. Si necesitas respuesta más rápida, sube f_c y acepta más rizado; si necesitas menos rizado, usa un filtro de segundo orden o sube la frecuencia del PWM.

Un PWM a frecuencia más alta facilita la vida. El periférico LEDC del ESP32 se configura habitualmente a 5 kHz (se puede llevar hasta el rango de los MHz reduciendo la profundidad de bits). Con PWM a 5 kHz, RC = 2,5 ms basta para un rizado del 2%: R = 25 kΩ, C = 100 nF, f_c = 63,7 Hz, tiempo de estabilización de unos 12 ms. Un orden de magnitud más rápida la respuesta ante escalón que en el caso de 490 Hz, con la misma especificación de rizado.

Ejemplo práctico 3: anti-aliasing antes de un ADC

Un ADC muestreando a 48 kHz necesita que su entrada esté limitada en banda por debajo de la frecuencia de Nyquist de 24 kHz. Cualquier contenido de señal por encima de 24 kHz se pliega de vuelta a la banda de audio como distorsión por aliasing. Un filtro RC de un solo polo en f_c = 20 kHz suele usarse como primera línea de defensa antes de un filtro anti-aliasing de orden superior dentro del códec.

Para f_c = 20 kHz con C = 1 nF (un valor pequeño que funciona bien en frecuencias de audio a ultrasónicas):

R = 1 / (2π · 1e-9 · 20e3) = 7958 Ω

Usa 8,2 kΩ (E24). f_c real = 19,4 kHz.

En 40 kHz (aproximadamente una octava dentro de la banda de rechazo): la atenuación es 20·log₁₀(1/√(1 + (40/19,4)²)) = −7,2 dB. Eso no es rechazo suficiente por sí solo. Un único polo RC solo te da −6 dB por octava, así que una señal en la frecuencia de Nyquist de 24 kHz solo ve unos −4 dB de atenuación (20·log₁₀(1/√(1 + (24/19,4)²)) = −4,03 dB) antes de plegarse a la banda de audio. Por eso los filtros anti-aliasing reales para audio usan topologías activas de 4.º orden o superior. El polo RC actúa como prefiltro para evitar que señales de RF y muy fuera de banda saturen la etapa activa. Ver "Cuando primer orden no basta" más abajo.

Filtros paso alto: acoplamiento AC

La aplicación más común de paso alto es el bloqueo de continua. Las señales de audio viajan sobre voltajes de polarización DC dentro de los amplificadores, y el offset de DC de un circuito puede saturar la siguiente etapa si se conecta directamente. Un condensador en serie más la impedancia de entrada de la siguiente etapa forman un filtro paso alto que bloquea la DC mientras deja pasar la señal AC.

Entrada típica de amplificador de guitarra: 1 MΩ de impedancia de entrada en la siguiente etapa, objetivo de f_c muy por debajo de la nota grave más baja. Elige f_c = 8 Hz para que el Mi grave de la guitarra en 82 Hz quede intacto y hasta un retumbe de 20 Hz pase limpio. Despeja C:

C = 1 / (2π · R · f_c) = 1 / (2π · 1e6 · 8) = 19.9 nF

Usa 22 nF (E6). f_c real = 7,23 Hz. En 20 Hz la señal cae solo 0,5 dB, la fundamental de bajo en 82 Hz cae 0,04 dB, y la DC queda totalmente bloqueada.

Elige el valor del condensador según hasta qué frecuencia tan baja quieras dejar pasar limpio. Para trabajo de subwoofer, baja f_c a 5 Hz. Para aplicaciones solo de voz, 200 Hz está bien y reduce el ruido de manipulación del micrófono.

Cómo elegir componentes reales

Tres reglas que mantienen la respuesta calculada cerca de la respuesta medida:

La tolerancia del condensador manda. Los condensadores cerámicos X7R tienen una tolerancia de ±10% a 25 °C y derivan hasta un ±15% adicional en todo el rango de operación de −55 a +125 °C. Un condensador de 100 nF pensado para f_c = 1 kHz podría ser en realidad de 85 nF o 115 nF, desplazando f_c a 923 Hz o 1176 Hz. Los condensadores de película (polipropileno, poliéster) mantienen un ±5% y se quedan dentro del ±2% en temperatura, que es por lo que son estándar en audio. Los cerámicos C0G/NP0 ofrecen excelente precisión (±5% o mejor, deriva de ±30 ppm/°C) pero solo vienen en valores pequeños, típicamente por debajo de 10 nF.

Mantén la impedancia de la fuente baja en relación a R. Si la fuente que alimenta el filtro tiene una impedancia de salida R_s, la R efectiva en la fórmula de corte pasa a ser R_s + R. Para un filtro con resistencia de 10 kΩ alimentado desde una fuente de 1 kΩ, f_c baja en torno al 10%. Si R_s supera unos pocos por ciento de R, añade un buffer con un amplificador operacional.

Mantén la impedancia de carga alta en relación a R. El filtro carga a la etapa anterior, y la etapa siguiente carga al filtro. Si la resistencia de carga R_L queda en paralelo con el condensador de salida (caso paso bajo), la R efectiva pasa a ser R en paralelo con R_L, subiendo f_c. Para una respuesta de primer orden limpia, haz que R_L sea al menos 10 veces R.

Las tres reglas aparecen como errores "ocultos" cuando el circuito sobre el papel no coincide con el que montas en la protoboard. La calculadora de filtros RC resuelve las matemáticas del caso ideal; las tres reglas hacen que esas matemáticas ideales sigan siendo relevantes para lo que construyes de verdad.

Cuando primer orden no basta

Un único polo RC da −20 dB por década, que suena rápido hasta que intentas usarlo para anti-aliasing o filtrado de RF. En 2·f_c la respuesta solo cae 7 dB. En 5·f_c cae 14 dB. La mayoría de las cadenas de señal necesitan más.

Tres formas de conseguir una pendiente más pronunciada:

Encadenar varias etapas RC con buffers. Dos etapas RC dan −40 dB/década, tres dan −60 dB/década. Necesitas un amplificador buffer (normalmente un operacional en ganancia unitaria) entre etapas; encadenar directamente altera la impedancia efectiva de cada etapa y arruina el corte nominal. Este enfoque es sencillo pero cargado de componentes.

Filtros activos Sallen-Key. Un solo operacional con dos resistencias y dos condensadores da una auténtica respuesta de segundo orden: −40 dB/década con un factor Q definido y sin necesidad de buffer. El paso bajo Sallen-Key es la topología estrella para filtros anti-aliasing de audio desde 20 kHz hasta unos pocos MHz.

Filtros pasivos LC. En frecuencias de radio, los inductores sustituyen a las etapas activas. Un paso bajo LC en configuración Pi o T da una respuesta de segundo orden sin operacional y funciona bien hasta el rango de los GHz. El compromiso: los inductores son voluminosos, caros y se acoplan a campos magnéticos parásitos. RC casi siempre se prefiere por debajo de unos pocos cientos de kHz; LC toma el relevo por encima.

Para la mayoría de las tareas del día a día (suavizado de PWM, bloqueo de DC, conformado simple de tono, prefiltrado anti-aliasing), un RC de primer orden es la respuesta correcta. Tira de diseños de orden superior cuando necesites más de 20 dB de rechazo una década más allá de la esquina.

Errores comunes

Ignorar la impedancia de la fuente. Un control de tono basado en potenciómetro con 10 kΩ de impedancia de salida alimentando una resistencia de filtro de 10 kΩ no produce la f_c que calculaste con R = 10 kΩ a secas. La R efectiva es 20 kΩ, así que f_c queda a la mitad de lo esperado.

Saltarse los buffers entre etapas en cascada. Dos filtros paso bajo de 1 kHz conectados directamente no producen un filtro de segundo orden en 1 kHz. La segunda etapa carga a la primera, desplazando las dos esquinas. Pon buffer siempre.

Usar condensadores polarizados en acoplamiento AC. Un electrolítico de 10 µF en serie con una señal de audio funciona solo si ve una polarización DC mayor que la excursión AC. En un camino de señal bidireccional (sin offset DC), usa un condensador no polarizado o dos electrolíticos espalda con espalda. Mejor aún: un condensador bipolar de película o de tantalio.

Diseñar con valores de componente ideales. Los condensadores reales tienen resistencia serie equivalente (ESR), las resistencias reales tienen capacidad parásita, y ambos tienen tolerancia finita. Para trabajos de precisión, verifica el circuito montado frente al objetivo de diseño con un generador de señal y un osciloscopio antes de dar por buenas las matemáticas.

Pasa tus cálculos de filtro RC por la calculadora de filtros RC de Calcflux y contrasta con la calculadora de código de colores de resistencias cuando leas componentes físicos. Para trabajos de impedancia más complejos, la calculadora de Ley de Ohm resuelve las relaciones resistivas en régimen permanente que están detrás de todo diseño de filtro.