Das Ohmsche Gesetz erklärt: Formel, Dreieck und Praxisbeispiele

Eine 12-Volt-Autobatterie. Ein 4-Ohm-Subwoofer. Verbindet man sie direkt, fließen 3 Ampere, und 36 Watt Wärme werden in der Schwingspule abgegeben. Dieser eine Satz verwendet das Ohmsche Gesetz zweimal, und es ist genau die Art von Überschlagsrechnung, die jeder Elektroingenieur ein Dutzend Mal am Tag durchführt. Wer die Beziehung zwischen Spannung, Strom und Widerstand beherrscht, reduziert die meisten Schaltungsfragen auf einfache Rechenaufgaben.

Georg Simon Ohm erarbeitete es 1826 und veröffentlichte es 1827 in einer Abhandlung mit dem Titel Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet. Das deutsche Wissenschaftsestablishment lehnte es ab. Ein Kritiker nannte die Arbeit „ein Gewebe nackter Phantasien". Ein Regierungsminister erklärte, „ein Professor, der solche Ketzereien predigt, sei unwürdig, Wissenschaft zu lehren". Fünfzehn Jahre später verlieh die Royal Society Ohm die Copley-Medaille, und heute trägt die SI-Einheit des Widerstands seinen Namen.

Die Formel und das Dreiecks-Merkschema

Das Gesetz umfasst drei Symbole: V = I · R. Spannung gleich Strom mal Widerstand. Volt gleich Ampere mal Ohm. Formt man es um, erhält man die beiden ebenso wichtigen Gefährten:

• I = V / R (nach dem Strom auflösen, wenn Spannung und Widerstand bekannt sind)
• R = V / I (nach dem Widerstand auflösen, wenn Spannung und Strom bekannt sind)

Das „Ohmsche Dreieck" ist ein visuelles Merkschema für diese drei Formen. Zeichnen Sie ein Dreieck mit V oben, I und R unten. Decken Sie die gesuchte Variable ab, und die verbleibenden zwei ergeben die richtige Gleichung: V abdecken, und Sie sehen I neben R (Multiplikation); I abdecken, und Sie sehen V über R (Division); R abdecken, und Sie sehen V über I. Es ist banal, hat nichts mit der Physik zu tun, und es funktioniert. Die meisten Einführungsbücher drucken es genau deshalb noch immer ab.

Nutzen Sie den Ohmsches-Gesetz-Rechner, wenn Sie zwei Werte eingeben und den dritten automatisch berechnen lassen möchten, einschließlich der Verlustleistung, die sich daraus ergibt. Die Rechnung ist aber einfach genug, um sie im Kopf zu erledigen, sobald das Dreieck sitzt.

Ein Hinweis zu den Einheiten. Ein Volt, das ein Ampere durch ein Ohm treibt, ist die Definition. Verdoppeln Sie die Spannung an einem festen Widerstand, verdoppelt sich der Strom. Verdoppeln Sie den Widerstand bei fester Spannung, halbiert sich der Strom. Diese lineare Proportionalität ist der gesamte Inhalt des Gesetzes, und genau sie versagt bei den „nicht-ohmschen" Bauteilen, die weiter unten behandelt werden.

Gerechnetes Beispiel: Dimensionierung eines Vorwiderstands für eine LED

Eine LED ist eine Diode. Schließen Sie sie direkt an eine Batterie an, und sie lässt alles an Strom durch, was die Quelle liefern kann, bis sie durchbrennt. Jede LED-Schaltung benötigt einen strombegrenzenden Vorwiderstand in Reihe, und das Ohmsche Gesetz legt ihn aus.

Nehmen wir eine Standard-Rote-LED an einer 5-V-Versorgung. Das Datenblatt gibt zwei Zahlen an, die Sie interessieren: die Durchlassspannung (nennen wir sie 2,0 V für eine typische rote LED) und den Durchlassstrom (20 mA ist das übliche Auslegungsziel, wobei viele Signal-LEDs bei 5 bis 10 mA bereits hell genug leuchten). Die LED fällt unabhängig davon 2,0 V ab. Die verbleibenden 5 − 2 = 3 V müssen über dem Widerstand abfallen.

Eine gängige Wahl ist 330 Ω, weil er in jeder Bauteilschublade liegt. Mit 3 V über 330 Ω:

• I = V / R = 3 / 330 = 0,00909 A = 9,09 mA

Das liegt deutlich unter der 20-mA-Grenze und ergibt eine komfortabel helle Anzeige mit Reserve für Versorgungsschwankungen. Die im Widerstand umgesetzte Leistung:

• P = V² / R = 9 / 330 = 0,0273 W = 27,3 mW

Ein Viertelwatt-Widerstand (250 mW) bewältigt das mit einer Größenordnung Reserve. Wollen Sie näher an 20 mA, rechnen Sie in die andere Richtung: R = 3 V / 0,020 A = 150 Ω. Der LED-Vorwiderstand-Rechner führt genau diese Berechnung mit einer aufgeräumteren Oberfläche für Serienarbeit durch, und der Widerstands-Farbcode-Rechner dekodiert die Ringe am realen Bauteil, sobald Sie den Wert kennen.

Ein Vorbehalt: die Durchlassspannung variiert je nach Farbe. Rot und Gelb liegen bei etwa 1,8 bis 2,2 V, Grün bei etwa 2,1 bis 2,4 V, Blau und Weiß bei etwa 3,0 bis 3,4 V. Tauschen Sie eine blaue LED in eine für Rot ausgelegte Schaltung, sinkt der Strom und die Helligkeit nimmt ab. Holen Sie die Zahl immer aus dem Datenblatt des exakten Bauteils.

Verlustleistung in drei Formen

Das Ohmsche Gesetz liefert Ihnen zwei der drei Variablen in einer ohmschen Schaltung. Die Leistungsgleichung liefert die dritte wichtige Ausgabegröße: Wärme. Die Leistung in einer ohmschen Gleichstromschaltung ist P = V · I, Watt gleich Volt mal Ampere. Joules erstes Gesetz, 1841 veröffentlicht, belegte, dass diese Leistung als Wärme am Widerstand erscheint und dass die Wärme quadratisch mit dem Strom skaliert.

Setzt man das Ohmsche Gesetz in P = VI ein, erscheinen zwei weitere Formen:

• P = V · I (wenn V und I bekannt sind)
• P = I² · R (wenn Strom und Widerstand bekannt sind)
• P = V² / R (wenn die Spannung über einem bekannten Widerstand bekannt ist)

Alle drei sind dieselbe Gleichung in anderem Gewand. Die richtige ist jeweils die, die einen Rechenschritt spart. Sie legen einen Pull-up-Widerstand an einer 3,3-V-Leitung mit einem 10-kΩ-Bauteil aus? P = V²/R = 10,89 / 10.000 = 1,09 mW, also reicht ein 1/16-W-Widerstand. Ein Strommessshunt mit 2 A durch 0,01 Ω? P = I²R = 4 × 0,01 = 0,04 W, also passt ein 1/8-W-Bauteil.

Zurück zur 12-V-Batterie am 4-Ω-Lautsprecher vom Anfang. I = 12/4 = 3 A. Leistung: 12 × 3 = 36 W, gleichwertig 3² × 4 = 36 W, gleichwertig 144 / 4 = 36 W. Drei Wege, ein Ziel. Der Rechner für elektrische Leistung beherrscht alle drei Formen, falls Sie lieber klicken als multiplizieren.

Der quadratische Term in P = I²R ist der Grund, warum der Leitungsquerschnitt eine Rolle spielt. Verdoppeln Sie den Strom durch einen festen Leiter, vervierfacht sich die Erwärmung.

Wann das Ohmsche Gesetz nicht gilt

Das Ohmsche Gesetz ist empirisch, nicht fundamental. Es gilt hervorragend für Metalle und die meisten Kohleschichtwiderstände über viele Größenordnungen der Spannung. Für eine lange Liste verbreiteter Bauteile versagt es deutlich.

Dioden. Eine Silizium-Diode leitet bis etwa 0,6 V Durchlassspannung so gut wie keinen Strom und wird oberhalb von 0,7 V fast zum Kurzschluss. Die I-U-Kennlinie ist exponentiell, nicht linear. V = IR auf eine Diode anzuwenden liefert Unsinn. Genau deshalb brauchen LED-Schaltungen externe Vorwiderstände: die LED kann sich nicht selbst begrenzen.

Glühlampen mit Wolframwendel. Eine Wolframwendel bei Raumtemperatur hat vielleicht ein Zehntel ihres Betriebswiderstands. Der Kalt-Einschaltstrom einer 60-W-120-V-Lampe kann in den ersten Millisekunden auf das Zehnfache des stationären Werts ansteigen, während die Wendel sich aufheizt. Der stationäre Widerstand folgt dem Ohmschen Gesetz bei Betriebstemperatur, der Einschwingvorgang nicht.

Thermistoren. Diese sind so ausgelegt, dass sich der Widerstand mit der Temperatur ändert. NTC-Thermistoren verringern den Widerstand beim Erwärmen, PTC-Thermistoren erhöhen ihn. Tragen Sie U gegen I bei einem Thermistor auf, und die Kurve ist alles andere als linear, weil R eine Funktion der durch den Strom verursachten Eigenerwärmung ist.

Halbleiter allgemein. Transistoren, MOSFETs und Halbleiterübergänge verletzen das Ohmsche Gesetz per Design. Ihr ganzer Zweck ist das nichtlineare Verhalten, das es einem Signal erlaubt, ein anderes zu steuern.

Auch Materialien brechen unter starken Feldern vollständig zusammen. Luft auf Meereshöhe schlägt bei etwa 3 MV/m durch; sobald das passiert, hat der Lichtbogenstrom fast nichts mehr mit dem „Widerstand" der Strecke vor dem Durchschlag zu tun.

Temperatur und realer Leitungswiderstand

Der Widerstand ändert sich mit der Temperatur. Der Widerstand von Kupfer steigt bei Raumtemperatur um etwa 0,39 % pro Grad Celsius. Aluminium ist ähnlich. Wolfram liegt bei etwa 0,45 % pro Grad, weshalb der Einschaltstromeffekt bei Glühlampen so drastisch ausfällt. Ein 100-Meter-Kabelweg mit 14 AWG Kupfer (ca. 0,83 Ω bei 20 °C) steigt in einem heißen Dachboden bei 35 °C auf etwa 0,88 Ω.

Das ist wichtiger, als es klingt. Elektriker machen sich bei einem Endstromkreis selten Sorgen über 6 % Abweichung, aber lange Leitungswege, Rechenzentrumssammelschienen und Präzisions-Strommessshunts schon. Die Vierleiter-Kelvin-Messung existiert genau deshalb, weil die Zweidraht-Widerstandsmessung den unbekannten Widerstand nicht mehr vom Zuleitungsdraht unterscheiden kann, sobald deren Werte vergleichbar werden.

Für die Auslegung berechnen der Spannungsfall-Rechner und der Leitungsquerschnitt-Rechner den Widerstand bei standardisierten Referenztemperaturen. Läuft Ihre Umgebung heiß, mindern Sie die Strombelastbarkeit entsprechend; NEC-Tabellen berücksichtigen das bereits über Korrekturfaktoren für die Umgebungstemperatur.

Maxwell wies 1876 auf das thermische Problem hin und entwickelte Methoden, um die joulesche Erwärmung von der Messung selbst zu trennen. Auch der Peltier-Effekt an Kontakten und Seebeck-Spannungen aus Temperaturgradienten schleichen sich in Messungen bei niedrigen Pegeln ein und erzeugen manchmal thermische Fehler, die in der Größe dem zu messenden Widerstand entsprechen.

Wechselstrom, Impedanz und das Zwei-Zeichen-Upgrade

Legt man einen Sinus an einen Widerstand, gilt das Ohmsche Gesetz in jedem Augenblick: v(t) = i(t) · R. Legt man denselben Sinus an einen Kondensator oder eine Spule, sind Spannung und Strom nicht mehr in Phase, und eine einzelne reelle Zahl R kann die Beziehung nicht beschreiben.

Die Lösung ist die Impedanz, geschrieben als Z, eine komplexwertige Verallgemeinerung des Widerstands. Die Form des Ohmschen Gesetzes ist unverändert: V = I · Z. Der Unterschied ist, dass Z Betrag und Phase besitzt. Für einen idealen Widerstand gilt Z = R (Phase 0). Für eine ideale Spule bei Frequenz ω gilt Z = jωL (Strom eilt Spannung um 90° nach). Für einen idealen Kondensator gilt Z = 1/(jωC) (Strom eilt Spannung um 90° voraus). Kombinieren Sie sie in Reihe oder parallel mit denselben Regeln wie Widerstände, unter Nutzung komplexer Arithmetik.

Der Spannungsteiler-Rechner deckt den rein ohmschen Fall ab. Setzen Sie Kondensatoren oder Spulen in dieselbe Topologie ein, erhalten Sie einen RC-Filter, bei dem die Grenzfrequenz von beiden Bauteilen abhängt und das Ohmsche Gesetz zum frequenzdomänenwirksamen Werkzeug hinter jedem Filter erster Ordnung wird, den Sie je entwerfen werden.

Für Gleichstrom reduziert sich die Impedanz zurück auf den Widerstand, und alles kollabiert zu V = IR. Für 60-Hz-Energieversorgungssysteme ist die induktive Blindkomponente in Motoren und Transformatoren meist klein genug, dass einfache Leistungsberechnungen noch funktionieren, wobei Blindleistungskorrekturen auftauchen, sobald induktive Lasten bedeutend werden. Der Leistungsfaktor-Rechner übernimmt diese Korrektur für Wirk- und Scheinleistung.

Häufige Fehler bei der Anwendung des Ohmschen Gesetzes

Drei Fehlermodi erwischen selbst erfahrene Leute.

Vergessen, welche Spannung in die Formel gehört. Das V in V = IR ist die Spannung über dem betrachteten Widerstand, nicht die Versorgungsspannung. Im LED-Beispiel war die Versorgung 5 V, aber die Spannung über dem Widerstand betrug 3 V. Mit den vollen 5 V gerechnet ergäbe 15,2 mA (5/330), was hier gerade noch kein Bauteil zerstört, aber prinzipiell falsch ist und bei Schaltungen mit großen Versorgungsspannungen gefährlich falsch wird.

Einheitenpräfixe vermischen. Milliampere mal Kiloohm ergibt Volt. Mikroampere mal Megaohm ergibt ebenfalls Volt. Ampere mal Ohm ergibt Volt. Mischt man sie in einer anderen Kombination, liegt das Ergebnis um einen Faktor 1.000 oder 1.000.000 daneben. Jeder praktizierende Ingenieur hat auf diese Weise mindestens einmal ein Bauteil zerstört.

Das Ohmsche Gesetz mit den kirchhoffschen Gesetzen verwechseln. Das Ohmsche Gesetz beschreibt ein Bauteil auf einmal. Die kirchhoffsche Maschenregel (die Summe der Spannungen in einer Masche ist null) und die Knotenregel (die Summe der Ströme an einem Knoten ist null) verknüpfen die Schaltung. Sie brauchen beides. In Reihe sind die Ströme gleich und die Spannungen addieren sich. Parallel sind die Spannungen gleich und die Ströme addieren sich. Der Widerstandsnetzwerk-Rechner übernimmt die Reihen- und Parallelarithmetik, sobald Sie wissen, welche Topologie vorliegt.

Zurück zum Anfangsbild. Eine 12-V-Autobatterie, ein 4-Ω-Lautsprecher, 3 A, 36 W. Jede Schaltung, die Ihnen je begegnen wird, reduziert sich auf Variationen dieses Gleichungsstapels. Lernen Sie die drei Formen des Ohmschen Gesetzes und die drei Formen der Leistungsgleichung, erkennen Sie, wann die Linearität bricht, und behalten Sie die Einheiten im Blick. Der Rest ist Topologie.

Quellen: Wikipedia, „Ohmsches Gesetz"; Wikipedia, „Georg Ohm"; Wikipedia, „Elektrische Leistung"; NIST-Definitionen der SI-Einheiten; Horowitz und Hill, The Art of Electronics, 3. Auflage.