Passive Filterauslegung: RC-Tief- und Hochpässe erster Ordnung

Ein 5 V PWM-Signal von einem Arduino-Pin, das den Drehzahleingang eines Gleichstrommotors ansteuern soll, erzeugt hörbares Rucken am Motor. Die Lösung: ein 10 kΩ Widerstand und ein 2,2 µF Kondensator zwischen PWM-Pin und Motortreiber. Grenzfrequenz 7,2 Hz, deutlich unter dem 490 Hz PWM-Träger, und die Spitze-Spitze-Welligkeit fällt von 5 V auf rund 120 mV. Zwei Bauteile, eine Formel.

Passive RC-Filter sind der einfachste Baustein zur Signalaufbereitung in der Elektronik. Ein Widerstand, ein Kondensator, ein Massebezug, und Sie erhalten einen Tief- oder Hochpass erster Ordnung, dessen Grenzfrequenz durch eine einzige Gleichung festgelegt ist. Die meisten Ingenieure lernen das einmal, vergessen die Herleitung und erinnern sich nur an die Formel. Dieser Leitfaden führt durch die Mathematik, das Bode-Diagramm und drei durchgerechnete Beispiele (Audio-Klangregelung, PWM-Glättung und ADC-Anti-Aliasing), die Sie mit dem Calcflux RC-Filter-Rechner gegenprüfen können.

Die Formel für die Grenzfrequenz

Die Grenzfrequenz (auch Cutoff, −3 dB-Punkt oder Halbleistungspunkt genannt) eines RC-Filters erster Ordnung lautet:

f_c = 1 / (2π · R · C)

R in Ohm, C in Farad, f_c in Hertz. Dieselbe Formel gilt sowohl für die Tiefpass-Topologie (R in Reihe, C gegen Masse, Ausgang über C) als auch für die Hochpass-Topologie (C in Reihe, R gegen Masse, Ausgang über R). Der Tausch bestimmt lediglich, welche Seite von f_c das Signal passiert; die Grenzfrequenz selbst bleibt unverändert.

Die zugehörige Zeitkonstante τ gibt an, wie schnell sich der Kondensator über den Widerstand lädt oder entlädt:

τ = R · C

Nach einer Zeitkonstante erreicht ein ladender Kondensator 63,2 % der Endspannung. Nach fünf Zeitkonstanten liegt er bei 99,3 % und gilt als vollständig eingeschwungen. Das ist das Zeitbereichs-Pendant zur Grenzfrequenz im Frequenzbereich. Beide beschreiben denselben Filter durch zwei verschiedene Brillen.

Warum −3 dB am Eckpunkt

Bei f = f_c beträgt der Betrag der Übertragungsfunktion genau 1/√2 ≈ 0,707. Quadriert ergibt das 1/2, also gelangt die halbe Eingangsleistung zum Ausgang. Daher der Begriff „Halbleistungspunkt". Rechnet man das Amplitudenverhältnis mit 20·log₁₀(1/√2) in Dezibel um, erhält man −3,0103 dB, was Datenblätter auf −3 dB runden.

Das ist keine Faustregel. Es folgt direkt aus der Algebra der Übertragungsfunktion eines RC-Systems erster Ordnung und taucht unverändert in jedem Lehrbuch seit den Arbeiten von George Campbell und Otto Zobel bei den AT&T Bell Labs in den Jahren 1915 bis 1925 auf.

Das Bode-Diagramm lesen

Ein Bode-Diagramm zeigt den Betrag (in dB) über der Frequenz (logarithmische Skala). Für einen RC-Tiefpass erster Ordnung gilt:

• Unterhalb von f_c ist die Kennlinie flach bei 0 dB. Das Signal passiert unverändert.
• Bei f_c ist sie um 3 dB abgesenkt.
• Oberhalb von f_c beträgt die Steigung −20 dB pro Dekade. Jede Verzehnfachung der Frequenz bewirkt eine Verzehnfachung der Amplitudenabsenkung (20 dB Verlust).

Für einen Hochpass erster Ordnung spiegeln Sie das Diagramm. Die Steigung liegt unterhalb von f_c bei +20 dB pro Dekade und verläuft oberhalb flach bei 0 dB. Der Eckpunkt bleibt bei f_c.

Die Phasenverschiebung folgt dem Betrag, hinkt aber nach. Ein Tiefpass verläuft von 0° bei Gleichspannung über −45° bei f_c bis −90° weit oberhalb. Der Übergang erfolgt allmählich. Eine Dekade unterhalb von f_c liegt die Verschiebung bereits bei etwa −5,7°, eine Dekade darüber bei −84,3°. Ein Hochpass spiegelt diesen Verlauf: +90° bei Gleichspannung, +45° bei f_c, 0° weit oberhalb. Die Phase wird relevant, sobald Sie Filter in Regelkreisen, Frequenzweichen oder phasengekoppelten Systemen kaskadieren.

Rechenbeispiel 1: Audio-Klangregelung bei 1 kHz

Gesucht ist eine einfache Höhenabsenkung. Das Signal kommt aus einer niederohmigen Line-Quelle, passiert einen RC-Tiefpass und speist einen Verstärker mit hoher Eingangsimpedanz. Ziel ist f_c = 1 kHz: Rauschen und hochfrequente Störanteile dämpfen, den Mittenbereich unangetastet lassen.

Wählen Sie zuerst den Kondensator. Für Audio-Anwendungen decken Werte zwischen 10 nF und 1 µF die meisten Fälle ab, und Kondensatorwerte stufen gröber als Widerstände. Wählen Sie C = 100 nF (0,1 µF), ein üblicher Keramik- oder Folienwert.

R auflösen:

R = 1 / (2π · C · f_c)
R = 1 / (2π · 100e-9 · 1000)
R = 1 / 6.283e-4
R = 1592 Ω

Wählen Sie 1,6 kΩ aus der E24-Reihe. Gegenprobe: f_c = 1 / (2π · 1600 · 100e-9) = 995 Hz. Für Audio nahe genug.

Bei 500 Hz (eine halbe Dekade unter f_c) beträgt die Dämpfung 20·log₁₀(1/√(1 + 0,5²)) = −0,97 dB, praktisch unverändert. Bei 10 kHz (eine Dekade darüber) liegt sie bei 20·log₁₀(1/√(1 + 10²)) = −20,04 dB. Die zehnfache Amplitudenabsenkung pro Dekade ist genau das, was das Bode-Diagramm vorhersagt. Gegenprobe mit dem RC-Filter-Rechner.

Rechenbeispiel 2: PWM zu analoger Spannung

Ein 490 Hz PWM-Signal von einem Arduino-Pin mit 50 % Tastverhältnis soll im Mittel 2,5 V liefern. Das Rohsignal ist weiterhin ein Rechteck zwischen 0 V und 5 V; gesucht ist der Mittelwert. Ein Tiefpass mit τ weit größer als die PWM-Periode extrahiert den Gleichanteil und unterdrückt den Träger.

Für 50 % Tastverhältnis und RC deutlich größer als die PWM-Periode ergibt sich die Spitze-Spitze-Welligkeit relativ zum vollen PWM-Hub zu:

V_ripple_pp / V_swing ≈ T_PWM / (4 · RC) = 1 / (4 · R · C · f_PWM)

Die Herleitung folgt aus exponentieller Auf- und Entladung während jeder Halbperiode (siehe die Notizen zu Linear Physical Systems Analysis von Swarthmore). Die Näherung trägt gut, sobald RC die PWM-Periode etwa um den Faktor 10 übersteigt.

Für eine 490 Hz Arduino-PWM mit Zielwert 2 % Welligkeit (100 mV von 5 V) brauchen Sie RC > 1 / (4 · 0,02 · 490) = 25,5 ms, gleichbedeutend mit f_c < 6,2 Hz.

Wählen Sie R = 10 kΩ, C = 2,2 µF. RC = 22 ms, f_c = 7,23 Hz. Die Welligkeit ergibt sich zu rund 2,3 % (116 mV Spitze-Spitze). Die Zeitkonstante von 22 ms bedeutet, dass Sprungänderungen etwa 110 ms zum Einschwingen brauchen (fünf Zeitkonstanten). Verwenden Sie diesen Filter also nicht für Signale, die schnellen Tastverhältnisänderungen folgen sollen. Wenn Sie schnelleres Ansprechen brauchen, erhöhen Sie f_c und nehmen mehr Welligkeit in Kauf; brauchen Sie weniger Welligkeit, greifen Sie zu einem Filter zweiter Ordnung oder erhöhen die PWM-Frequenz.

Höhere PWM-Frequenzen erleichtern die Auslegung. Die LEDC-Peripherie des ESP32 läuft üblicherweise mit 5 kHz (und lässt sich bei reduzierter Auflösung bis in den MHz-Bereich treiben). Bei 5 kHz PWM reichen RC = 2,5 ms für 2 % Welligkeit: R = 25 kΩ, C = 100 nF, f_c = 63,7 Hz, Einschwingzeit rund 12 ms. Eine Größenordnung schnelleres Sprungverhalten als bei 490 Hz, bei gleicher Welligkeit.

Rechenbeispiel 3: Anti-Aliasing vor einem ADC

Ein ADC, der mit 48 kHz abtastet, muss sein Eingangssignal bandbegrenzen auf Werte unterhalb der Nyquist-Frequenz von 24 kHz. Jeder Signalanteil oberhalb von 24 kHz faltet sich als Aliasing-Verzerrung in das Audioband zurück. Ein einpoliger RC-Filter bei f_c = 20 kHz dient häufig als erste Verteidigungslinie vor einem höhergradigen Anti-Alias-Filter im Codec.

Für f_c = 20 kHz mit C = 1 nF (ein kleiner Wert, der im Audio- bis Ultraschallbereich gut funktioniert):

R = 1 / (2π · 1e-9 · 20e3) = 7958 Ω

Verwenden Sie 8,2 kΩ (E24). Tatsächliche f_c = 19,4 kHz.

Bei 40 kHz (etwa eine Oktave im Sperrbereich) beträgt die Dämpfung 20·log₁₀(1/√(1 + (40/19,4)²)) = −7,2 dB. Das reicht allein nicht. Ein einzelner RC-Pol liefert nur −6 dB pro Oktave, sodass ein Signal bei der Nyquist-Frequenz von 24 kHz lediglich etwa −4 dB Dämpfung erfährt (20·log₁₀(1/√(1 + (24/19,4)²)) = −4,03 dB), bevor es sich ins Audioband zurückfaltet. Aus diesem Grund setzen reale Anti-Alias-Filter für Audio aktive Topologien vierter Ordnung oder höher ein. Der RC-Pol ist ein Vorfilter, der HF- und weit außerhalb des Bandes liegende Signale daran hindert, die aktive Stufe zu übersteuern. Siehe „Wenn erste Ordnung nicht reicht" weiter unten.

Hochpassfilter: AC-Kopplung

Die häufigste Hochpass-Anwendung ist die Gleichspannungssperre. Audiosignale liegen in Verstärkern auf Gleichspannungs-Arbeitspunkten, und der Offset einer Stufe kann die nächste Stufe übersteuern, wenn beide direkt gekoppelt sind. Ein in Reihe geschalteter Kondensator bildet zusammen mit der Eingangsimpedanz der folgenden Stufe einen Hochpass, der Gleichspannung sperrt und Wechselspannung passieren lässt.

Typischer Gitarrenverstärker-Eingang: 1 MΩ Eingangsimpedanz der Folgestufe, Zielwert f_c deutlich unter dem tiefsten Basston. Wählen Sie f_c = 8 Hz, damit das tiefe E der Gitarre bei 82 Hz unangetastet bleibt und sogar 20 Hz Rumpeln sauber durchkommt. C auflösen:

C = 1 / (2π · R · f_c) = 1 / (2π · 1e6 · 8) = 19.9 nF

Verwenden Sie 22 nF (E6). Tatsächliche f_c = 7,23 Hz. Bei 20 Hz ist das Signal nur um 0,5 dB abgesenkt, der 82 Hz Bass-Grundton um 0,04 dB, Gleichspannung ist vollständig gesperrt.

Richten Sie die Wahl des Kondensators danach aus, wie tief Sie sauber übertragen wollen. Für Subwoofer-Anwendungen senken Sie f_c auf 5 Hz. Bei reiner Sprachübertragung sind 200 Hz in Ordnung und reduzieren Handhabungsgeräusche am Mikrofon.

Bauteile in der Praxis wählen

Drei Regeln sorgen dafür, dass die berechnete Antwort zur gemessenen passt:

Die Kondensatortoleranz dominiert. Keramikkondensatoren vom Typ X7R bringen ±10 % Toleranz bei 25 °C mit und driften über den vollen Arbeitsbereich von −55 bis +125 °C um weitere ±15 %. Ein 100 nF Kondensator bei f_c = 1 kHz kann tatsächlich 85 nF oder 115 nF sein und verschiebt f_c auf 923 Hz oder 1176 Hz. Folienkondensatoren (Polypropylen, Polyester) halten ±5 % und bleiben über die Temperatur innerhalb von ±2 %, weshalb sie im Audiobereich Standard sind. C0G/NP0-Keramik bietet hervorragende Präzision (±5 % oder besser, ±30 ppm/°C Drift), ist aber nur in kleineren Werten, meist unter 10 nF, verfügbar.

Halten Sie die Quellimpedanz niedrig im Verhältnis zu R. Hat die treibende Quelle eine Ausgangsimpedanz R_s, wird das effektive R in der Grenzfrequenzformel zu R_s + R. Für einen 10 kΩ Filterwiderstand, der aus einer 1 kΩ Quelle gespeist wird, verschiebt sich f_c um etwa 10 % nach unten. Puffern Sie die Quelle mit einem Operationsverstärker, wenn R_s mehr als wenige Prozent von R beträgt.

Halten Sie die Lastimpedanz hoch im Verhältnis zu R. Der Filter belastet die vorhergehende Stufe, und die folgende Stufe belastet den Filter. Liegt der Lastwiderstand R_L parallel zum Ausgangskondensator (Tiefpass-Fall), wird das effektive R zur Parallelschaltung aus R und R_L, was f_c nach oben verschiebt. Für eine saubere Antwort erster Ordnung sollte R_L mindestens das Zehnfache von R betragen.

Alle drei Regeln tauchen als „versteckte" Fehler auf, wenn die Schaltung auf Papier nicht zum Steckbrett passt. Der RC-Filter-Rechner erledigt die ideale Mathematik; diese drei Regeln halten die ideale Mathematik relevant für das, was Sie wirklich aufbauen.

Wenn erste Ordnung nicht reicht

Ein einzelner RC-Pol liefert −20 dB pro Dekade, was zunächst schnell klingt, bis man ihn für Anti-Aliasing oder HF-Filterung einsetzen will. Bei der doppelten f_c ist die Antwort erst um 7 dB abgesenkt, bei der fünffachen um 14 dB. Die meisten Signalketten brauchen mehr.

Drei Wege zu steileren Flanken:

Mehrere RC-Stufen mit Puffern kaskadieren. Zwei RC-Stufen liefern −40 dB/Dekade, drei liefern −60 dB/Dekade. Zwischen den Stufen brauchen Sie einen Pufferverstärker (meist einen Operationsverstärker in Einheitsverstärkung); direkte Kaskadierung verändert die effektive Impedanz jeder Stufe und ruiniert die nominelle Grenzfrequenz. Das Vorgehen ist einfach, aber bauteilintensiv.

Sallen-Key Aktivfilter. Ein einzelner Operationsverstärker mit zwei Widerständen und zwei Kondensatoren liefert eine echte Antwort zweiter Ordnung: −40 dB/Dekade mit definiertem Q-Faktor und ohne Pufferung. Der Sallen-Key-Tiefpass ist die erste Wahl für Audio-Anti-Alias-Filter von 20 kHz bis zu einigen MHz.

Passive LC-Filter. Bei Radiofrequenzen ersetzen Induktivitäten aktive Stufen. Ein LC-Tiefpass in Pi- oder T-Konfiguration liefert eine Antwort zweiter Ordnung ohne Operationsverstärker und arbeitet sauber bis in den GHz-Bereich. Der Kompromiss: Induktivitäten sind sperrig, teuer und koppeln an Streumagnetfelder. RC ist unterhalb einiger hundert kHz fast immer die bessere Wahl; LC übernimmt darüber.

Für die meisten alltäglichen Aufgaben (PWM-Glättung, Gleichspannungssperre, einfache Klangformung, Anti-Aliasing-Vorfilter) ist ein RC erster Ordnung die richtige Antwort. Greifen Sie zu höhergradigen Auslegungen, sobald Sie mehr als 20 dB Dämpfung eine Dekade hinter der Grenzfrequenz brauchen.

Häufige Fehler

Quellimpedanz ignorieren. Eine potentiometerbasierte Klangregelung mit 10 kΩ Quellimpedanz, die einen 10 kΩ Filterwiderstand speist, liefert nicht die f_c, die Sie aus R = 10 kΩ allein berechnet haben. Effektives R = 20 kΩ, also liegt f_c bei der Hälfte des erwarteten Werts.

Puffer zwischen kaskadierten Stufen weglassen. Zwei direkt verbundene 1 kHz Tiefpässe ergeben keinen 1 kHz Filter zweiter Ordnung. Die zweite Stufe belastet die erste und verschiebt beide Eckpunkte. Immer puffern.

Gepolte Kondensatoren in AC-Kopplungen einsetzen. Ein 10 µF Elektrolyt in Reihe mit einem Audiosignal funktioniert nur, wenn er eine Gleichvorspannung größer als die Wechselauslenkung sieht. Auf einem bidirektionalen Signalpfad (ohne Gleichanteil) verwenden Sie einen ungepolten Kondensator oder zwei antiseriell geschaltete Elkos. Besser: ein Folien- oder bipolarer Tantalkondensator.

Auf ideale Bauteilwerte hin auslegen. Reale Kondensatoren haben einen Ersatzserienwiderstand (ESR), reale Widerstände haben parasitäre Kapazitäten, und beide haben endliche Toleranzen. Für präzise Anwendungen prüfen Sie die aufgebaute Schaltung gegen den Auslegungswert mit Signalgenerator und Oszilloskop, bevor Sie auf die Theorie vertrauen.

Rechnen Sie Ihre RC-Filter-Auslegung mit dem Calcflux RC-Filter-Rechner durch und kontrollieren Sie mit dem Widerstands-Farbcode-Rechner die physischen Bauteile. Für komplexere Impedanz-Aufgaben übernimmt der Ohmsches-Gesetz-Rechner die stationären Widerstandszusammenhänge, die jeder Filterauslegung zugrunde liegen.